2015-01-26
2015 წლის
29 იანვარს, 15.00 საათზე, თსუ XI კორპუსში, აუდიტორია
№ 421 შედგება ზუსტ და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებათა ფაკულტეტის
მათემატიკის სამეცნიერო სემინარის სხდომა
მოხსენების თემა: „დამატებითი სიმრავლურ-თეორიული აქსიომების გამოყენება ნამდვილი ცვლადის ფუნქციათა თეორიასა და ზომის თეორიაში“
მომხსენებელი: მარიამ ბერიაშვილი
(ივ. ჯავახიშვილის სახ. თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის დოქტორანტი)
ანოტაცია:ინტენსიურმა
კვლევებმა მათემატიკურ ანალიზში, ფუნქციათა თეორიასა და ზომის თეორიაში
საფუძველი ჩაუყარა სხვადასხვა პარადოქსალური წერტილოვანი სიმრავლეების
კვლევას. მათ შორის მნიშვნელოვანი როლი უკავია ვიტალის სიმრავლეებს,
ბერნშტეინის სიმრავლეებს, ჰამელის ბაზისს, ლუზინის სიმრავლეებსა და
სერპინსკის სიმრავლეებს. შესწავლილია მათი დესკრიფციული სტრუქტურა და
დადგენილია მათ შორის კავშირები.
ჩვენს მიერ განხილულია ზემოთ
ჩამოთვლილი სიმრავლეები ზომის თეორიისა და ფუნქციათა თეორიის
თვალსაზირისით და დადგენილია მათ შორის დამოკიდებულებები. კერძოდ
ნაჩვენებია, რომ
არსებობს ადიტიური ფუნქცია R-დან R^2-ში, რომლის
მნიშვნელობათა სიმრავლე შეიცავს ერთ წრფეზე არამდებარე 3 წერტილს, მაშინ f
გვაძლევს კოშის ფუნქციონალური განტოლების არატრივიალურ ამონახსნს;
არსებობს R-ზე ინვარიანტული ზომა μ ისეთი, რომ იგი წარმოადგენს ლებეგის
ზომის გაგრძელებას და μ ზომის მიმართ სერპინსკის ყველა სიმრავლე ხდება
ზომადი;
ნამდვილი ცვლადის ფუნქციის ფარდობითად ზომადობა ყველა
არანულოვან σ-სასრულო არასეპარაბელურ ზომათა კლასის მიმართ იწვევს ამავე
ფუნქციის ფარდობითად ზომადობას ყველა არანულოვან σ-სასრულო სეპარაბელურ
ზომათა კლასის მიმართ;
R^Nსივრცეზე მოცემული χ ბორელის σ-სასრულო
ზომის ინვარიანტულ, არასეპარაბელურ და ერთადერთობის თვისების მქონე ზომათა
გაგრძელებების კლასის სიმძლავრე არი 2^(2^c ).
Abstract
Some applications of additional set-theoretical axioms in the theory of real-valued functions and measure theory
Intensive
research in mathematical analysis, theory of functions and measure
theory may be regarded as a basis for studying various paradoxical
point sets. We consider certain types of interesting and important point
sets on the real line, such as Vitali sets, Bernstein sets, Hamel
bases, Luzin sets, and Sierpinski sets. These classical pathological
subsets of the real line are envisaged and their various descriptive
properties are investigated from the measure-theoretical view-point.
In
this thesis we are dealing with the above-mentioned sets in light of
function theory and measure theory, and establish some interrelations
between them. In particular, it is shown that:
the existence of
an additive function from R into R^2, whose range contains three
non-collinear points, implies (within ZF & DC theory) the existence
of a nontrivial solution of Cauchy’s functional equation;
there
exists a translation invariant measure μ on R extending the standard
Lebesgue measure and such that all Sierpinski sets are measurable with
respect to μ;
the relative measurability of a real-valued
function with respect to the class of non-separable sigma-finite
measures implies the relative measurability of the same function with
respect to the class of separable sigma-finite measures;
the
class of all non-separable invariant extensions of a certain nonzero
sigma-finite invariant Borel measure on the space R^(N )has maximal
cardinality equal to 2^(2^c ).
![Print](/i/print.png)
« იხ. ყველა სიახლე