დაიბადა 1970 წლის 15 ნოემბერს ქ. თბილისში.

1992 წელს წარჩინებით დაამთავრა თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ისტორიის ფაკულტეტი, ევროპისა და აშშ-ს უახლესი ისტორიის სპეციალობით.
1992 წლის სექტემბერში ედმუნდ მასკის პროგრამაში გამარჯვების შედეგად ჩაირიცხა ნიუ-იორკის უნივერსიტეტის რობერტ ფ. ვაგნერის სახელობის სახელმწიფო მართვის სკოლაში.
1993 წელს წარჩინებით დაასრულა სწავლა ნიუ-იორკის უნივერსიტეტში და მიიღო სახელმწიფო მართვის მაგისტრის ხარისხი.         
სწავლის დასრულების შემდგომ იგი მუშაობდა ატლანტის გრეიდის სამედიცინო ცენტრის ფინანსურ და ადმინისტრაციულ დეპარტამენტში.
1993 წელს სანდრო კვიტაშვილი დაბრუნდა საქართველოში და დაიწყო მუშაობა გაერო-ს განვითარების პროგრამის საქართველოს წარმომადგენლობაში ადმინისტრაციისა და ფინანსების ოფიცრის თანამდებობაზე.
1995-1997 წლებში იყო გაერთიანებული მეთოდისტური დახმარების კომიტეტის (UMCOR) საქართველოს მისიის უფროსის მოადგილე და მისიის ხელმძღვანელის მოვალეობის შემსრულებელი.
1997 წელს სანდრო კვიტაშვილი გახდა ქართული არასამთავრობო ორგანიზაცია “კურაციო”-ს საერთაშორისო ფონდის პრეზიდენტი.
2002 წლიდან საქართველოს სიღარიბის დაძლევისა და ეკონომიკური ზრდის პროგრამის ჯანდაცვის, სოციალური და განათლების სექტორების ქვეკომიტეტის ეროვნული ექსპერტ-კოორდინატორია.  
1995-2002 წლების განმავლობაში მუშაობდა სხვადასხვა საერთაშორისო ორგანიზაციის კონსულტანტად აზერბაიჯანში, ლიტვაში, უკრაინაში, სომხეთსა და სერბეთში. ამავე წლებში მას გამოცემული აქვს რამდენიმე ანალიტიკური ნაშრომი, რომელიც შეეხება ჯანდაცვის სფეროს რეფორმებისა და სოციალური დაცვის სისტემის ანალიზს.
2002-2003 წლებში მუშაობდა ნიუ-იორკში, აღმოსავლეთ-დასავლეთის ინსტიტუტში და შიდსის წინააღმდეგ ტრანსატლანტიკური პარტნიორობის ინსტიტუტის კონსულტანტად.
2004 წელს დაინიშნა აღმოსავლეთ-დასავლეთის ინსტიტუტის (EastWest Institute) ადმინისტრაციის დირექტორად, ხოლო 2005 წლიდან ადმინისტრაციის უფროს დირექტორად და ორგანიზაციის მმართველი საბჭოს წევრად.
2008 წლის თებერვლიდან 2010 წლის სექტემბრამდე სანდრო კვიტაშვილი მუშაობდა საქართველოს შრომის, ჯანმრთელობისა და სოციალური დაცვის მინისტრად.
2010 წლის სექტემბრიდან 27 დეკემბრამდე იყო ივანე ჯავახიშვილის სახელობის თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის რექტორის მოვალეობის შემსრულებელი.
2010 წლის 27 დეკემბერს ივანე ჯავახიშვილის სახელობის თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის აკადემიურმა საბჭომ სანდრო კვიტაშვილი ერთხმად აირჩია უნივერსიტეტის რექტორად. 2013 წლის 12 ივნისს ალექსანდრე კვიტაშვილმა თსუ აკადემიურ საბჭოს თანამდებობიდან გადადგომის შესახებ განცხადებით მიმართა. აკადემიური საბჭოს თხოვნის საფუძველზე იგი რექტორის მოვალეობას 2013 წლის 16 აგვისტომდე ასრულებდა.